Neste artigo:
Respeitabilidade e segurança?
Opções e o passeio aleatório
Opções e a fórmula de Black-Scholes
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Respeitabilidade e segurança?
Um dos
aspectos mais curiosos dos jogos com derivados é a retórica com que rodeiam o
tema os peritos da área (designadamente da matemática financeira), consciente
ou inconscientemente ao serviço da especulação do grande capital financeiro.
Procuram suportar o tema com toda a espécie de aparato matemático. Aparato
esmagador para o leigo que se sente rendido face à «ciência» dos peritos. Já
mais de uma vez tivemos ocasião de alertar o leitor deste blog que a matemática, só por
si, não faz a ciência. É perfeitamente possível (e muitas vezes simples!) elaborar
construções matemáticas correctas, interessantes
e elegantes, mas conduzindo a conclusões falsas
quando aplicadas à realidade. O aspecto mais comum de tal desempenho não
científico é a incorporação de falsas assunções nessas construções matemáticas
(ver uma boa exemplificação e discussão disso mesmo na nota 11 do nosso artigo http://revolucaoedemocracia.blogspot.pt/2013/11/o-homem-que-ganhou-o-premio-nobel-por.html
; note-se que alguns investidores estão conscientes disso [21]). De facto, até
para a astrologia seria possível construir uma teoria matemática!
Com um aparato
matemático de monta e a coberto de palavras mistificadoras como «produtos» e
«instrumentos» financeiros -- como se os derivados fossem bens de consumo
«produzidos» para a satisfação de necessidades correntes --, assim se empresta
um ar de «respeitabilidade» e «segurança» aos jogos com derivados. Assim se
enganam os tolos.
O aparato matemático
de monta nos derivados ocorre nas opções e motivou a entrega de dois prémios
Nobel. Já tínhamos referido em http://revolucaoedemocracia.blogspot.pt/2013/11/o-homem-que-ganhou-o-premio-nobel-por.html
como os preconceitos ideológicos têm pautado as decisões
dos comités que atribuem os prémios Nobel de economia. No presente artigo vamos
mostrar (e, em determinado aspecto, demonstrar) a fraude que se esconde por
trás desses aparatos matemáticos. E vamos fazê-lo matematicamente (embora em
termos simples).
Respeitabilidade
e segurança? Nenhumas.
Opções e o
passeio aleatório
Suponhamos que Maria e José jogam o seguinte
jogo: cada um lança à vez uma moeda ao ar; se sair «cara» Maria paga a José 1
€, se sair «coroa» José paga a Maria 1€. A figura abaixo mostra várias curvas
possíveis da evolução dos ganhos de um dos jogadores com o número de jogadas. É
claro que podemos sempre impor um tempo fixo por jogada; seja, 30 segundos.
Então o eixo horizontal do gráfico é uma escala temporal. Por exemplo, o valor
3001 da escala dir-nos-ia que já decorreram 1500 minutos (25 horas) desde o
início do jogo.
Cada uma das possíveis evoluções do jogo -- logo, cada uma das curvas da
figura acima -- diz-se ser uma realização do passeio aleatório ([21]). Muitos teóricos da área de finanças usam
o passeio aleatório como modelo matemático na avaliação de activos financeiros,
incluindo preços de opções. De facto, não usam exactamente o modelo acima, mas
sim um outro, no qual as excursões para cima (incrementos) ou para baixo
(decrementos) em vez de estarem limitadas a +1 e -1 podem tomar qualquer valor,
com uma distribuição de probabilidade regida pela chamada lei normal ([23]). Em
termos simples: a lei de probabilidade
que rege os ganhos é a mesma que rege as perdas (a lei normal é simétrica); a
probabilidade de um ganho ou perda diminui com o seu valor absoluto e, além
disso, valores excedendo duas vezes o desvio padrão, são raros, ocorrendo com
menos de 5% de probabilidade («caudas curtas» da distribuição de
probabilidade). As diferenças entre os dois tipos de passeios aleatórios são
pouco importantes já que o segundo é um caso limite do primeiro.
Os teóricos financeiros usam a versão contínua do passeio aleatório como
modelo do preço de activos financeiros. Concretamente, designemos por S(t)
o preço de um activo num certo instante de tempo, t; então, a menos de uma simples transformação linear, esses
teóricos modelizam o logaritmo de S(t) como um passeio aleatório ([24]).
Porque razão é usado o modelo
do passeio aleatório? Fundamentalmente, porque é simples e tem um tratamento
matemático bem conhecido. É uma «receita» que é usada; e usada, em geral, sem
grandes preocupações sobre se faz ou não faz sentido ([25]).
Mas, é claro, que o «ser simples» não garante de forma alguma que o modelo
seja adequado. Vamos ver que, de facto, não é adequado; quer do ponto de vista
empírico quer do ponto de vista teórico.
Comecemos por observar, na figura abaixo, a evolução temporal do logaritmo
neperiano (também dito natural) da cotação rublo/libra.
Será que se parece com a evolução que esperaríamos de uma realização do
passeio aleatório? Comparemos com as evoluções da figura anterior. Há logo um
aspecto que salta à vista: há excursões no logaritmo da cotação rublo/libra de
valor significativo, que sobressaiem do «ruído» aleatório da evolução; pelo
contrário, nas realizações do passeio aleatório os incrementos ou decrementos
não parecem variar muito ([26]).
O gráfico abaixo mostra, com barras vermelhas, quantas excursões entre
valores sucessivos da cotação rublo/libra têm um valor dentro de certo
intervalo; por exemplo, inspeccionando a figura, vemos que existem 87 excursões
cujo valor se situa entre 0,15 e 0,3. Se as excursões do logaritmo da cotação
rublo/libra seguissem a lei normal -- de forma equivalente, se pudessem ser bem
modelizados pelo passeio aleatório -- esperaríamos obter um gráfico de barras
vermelhas próximo da curva azul (que representa a lei de probabilidade normal
com a mesma média e desvio padrão das barras vermelhas); seria isto que
aconteceria com as curvas da primeira figura. Claramente tal não se verifica.
As barras vermelhas parecem aproximar-se mais de uma dupla exponencial (curva a
preto) aproximando melhor as «longas caudas» da evolução das barras vermelhas
([27]).
Mas há ainda um outro problema! Se o modelo do passeio aleatório fosse
adequado encontraríamos um valor constante do desvio padrão das excursões em
sucessivos intervalos temporais de igual largura: o desvio padrão da lei normal
subjacente. Ora, como a figura abaixo mostra (para sucessivos intervalos
temporais de 12 dias de largura) o desvio padrão das excursões do logaritmo da
cotação rublo/libra está muito longe de ser constante! Revela, pelo contrário,
uma forte não estacionaridade (idem, para outras larguras intervalares).
O modelo do passeio aleatório é manifestamente inadequado para a cotação
rublo/libra. Será que só em certos casos é inadequado? Não. Em mais de uma
vintena de séries temporais que observámos a inadequação era empiricamente
manifesta. Mas a observação empírica não basta. Teremos também de analisar a
questão do ponto de vista teórico. Teremos de perguntar: que condições deverão
satisfazer as excursões de uma série temporal por forma a poder ser modelizada
pelo passeio aleatório? Esta pergunta tem uma resposta bem conhecida dos
matemáticos. Devem satisfazer obrigatoriamente a duas condições: 1) deverão ser
variáveis aleatórias independentes; 2) deverão reger-se pela mesma lei normal. São
duas condições praticamente impossíveis de satisfazer pelas séries temporais
económicas relativas a variáveis de mercado, sobre as quais incidem os
derivados. A condição 1 exigiria que cada ocorrência diária de um mercado fosse
uma ocorrência estanque; isto é, que num dado dia os participantes humanos no
mercado agissem como se não soubessem o que se passou nos dias anteriores. Só
assim estaria garantida a independência das excursões das variáveis. Um absurdo.
A condição 2 implicaria que qualquer que fosse o dia do mercado todas as
influências sobre a variável em causa fossem de tipo aditivo e exactamente as
mesmas; isto é, que não existisse história. Outro absurdo.
Na realidade, há já bastante tempo que alguns economistas viram o absurdo
da modelização pelo passeio aleatório (ver, p.ex., [28]). Contudo, os
economistas convencionais continuam impávidos e serenos a ensinar absurdos e a
assobiar para o lado. (Este é um tema que temos vindo a esclarecer desde o início
do blog.)
Dissemos que as séries temporais económicas sobre que incidem os derivados
não são modelizáveis por passeios aleatórios. Será que existem outros modelos
possíveis? Se por modelos possíveis entendermos modelos capazes de efectuar
predições de interesse, a resposta é absolutamente e inequivocamente não ([29]).
Opções e a fórmula de
Black-Scholes
Os economistas Fischer Black e Myron Scholes ganharam o prémio Nobel em
1997 por um trabalho de 1973, em que desenvolveram uma fórmula para calcular o
preço de opções. A fórmula foi desenvolvida com base no modelo do passeio
aleatório; de facto, os ditos economistas adaptaram trabalhos já existentes sobre
o passeio aleatório ([30]) a um modelo de preços de activos proposto em 1965 pelo economista convencional
Paul Samuelson.
A fórmula de
Black-Scholes pareceu trazer a «respeitabilidade» teórica que faltava ao
mercado de opções. Como diz o artigo da wikipedia
«A fórmula levou a uma subida em flecha nas transacções de opções e legitimou
cientificamente as actividades da Bolsa de Opções de Chicago e de outros
mercados de opções em todo o mundo». Já discutimos esta questão de legitimidade
científica dos modelos (ver também o que dissemos em http://revolucaoedemocracia.blogspot.pt/2013/11/o-homem-que-ganhou-o-premio-nobel-por.html). Podemos sintetizar assim: as
teorias cientificamente validadas usam frequentemente modelos; mas um modelo,
seja simples ou complexo, por si só,
não pode ser legitimado cientificamente. É necessário que consiga explicar a
realidade e que assente em assunções também conformes com a realidade. A
história da ciência regista um enormíssimo número de modelos -- por vezes de
complexidade matemática não trivial, como o da fórmula Black-Scholes -- que
tiveram de ser descartados porque, ou não descreviam adequadamente observações
empíricas, ou assentavam em assunções não realistas ([31]), ou ambos.
Podemos facilmente compreender que toda a arquitectura matemática
imponente subjacente à fórmula de Black-Scholes, impressione o leigo e pareça
dar «respeitabilidade científica» à dita fórmula. O que é certo é que a fórmula
não evitou uma série de desastres aos que jogam com opções. Conforme também diz
a wikipedia: «O modelo de
Black-Scholes discorda da realidade de muitas formas, algumas delas
significativas. É largamente usado como aproximação útil, mas a sua aplicação
adequada requer que se compreendam as limitações -- guiar-se cegamente pelo
modelo expõe o utilizador a riscos inesperados». É claro que ninguém sabe o que
significa «aplicação adequada» de um modelo que «discorda da realidade de
muitas formas», nem a que corresponde na prática compreender as «limitações».
E, à boa maneira da economia convencional, o artigo da wikipedia prossegue dizendo, entre outras coisas, que a fórmula é
usada porque «é fácil de calcular» -- dá vontade de dizer que o fácil tal como
o barato pode sair caro -- e que apesar da volatilidade de activos financeiros
não se comportar como nas assunções do modelo, ainda assim é útil usá-la porque
«o número errado na fórmula errada pode produzir o preço certo»! Incrível
afirmação que se sente ser da escola irracional de Milton Friedman.
É claro que a fórmula de Black-Scholes não retira em nada a natureza de
jogo do mercado de opções. Mas será que contribuirá para uma maior «segurança»
do mercado? Isto é, será que usando a fórmula de Black-Scholes perdas e ganhos
são do menor montante possível? Se assim fosse estaria justificada a utilização
da fórmula para fins de «cobertura» («hedging»)
do risco. Contudo, não existe um único resultado teórico que demonstre a
optimalidade da fórmula de Black-Scholes; nem
mesmo na situação em que todas as assunções em que se baseia são fielmente
cumpridas.
Aplicámos a fórmula de Black-Scholes à situação de subscritor de opções de
compra a 90 dias sobre a cotação
dólar/libra, tal como no caso da Allied-Lyons que descrevemos no artigo
anterior. O período em causa vai de 1 de Setembro de 1989 a 2 de Outubro de
1991. Concretamente, considerámos que o contrato da primeira opção, celebrado
em 1 de Setembro de 1989, vencia em 30 de Novembro de 1989, e que a partir daí
todos os meses era contratada nova opção, com a vigésima-sexta e última, celebrada
a 2 de Outubro de 1991, vencendo em 31 de Dezembro de 1991. Usámos como preço
de exercício a taxa forward a 90
dias. Usando a fórmula de Black-Scholes o preço das opções depende de seis
parâmetros ([32]); obtivemos valores para as 26 opções que variaram entre 0,0002$
e 0,36$ o que, para montantes transaccionados de 10 M$ (milhões de dólares)
como no caso da Allied Lyons, corresponde a prémios pagos no momento do
contrato entre 2 e 360 mil dólares. Obtivemos também uma perda total 9,223 M$.
Pois bem, se em vez dos preços variáveis calculados pela fórmula de
Black-Scholes com base em seis parâmetros, tivéssemos simplesmente usado um preço constante de 0,051$ obteríamos,
não um prejuízo, mas sim um ganho de 61 mil dólares. Um exemplo de quão longe
pode estar a fórmula de Black-Scholes de uma minimização de risco num caso
real.
Para terminar: Myron Scholes juntamente com outro prémio Nobel da
Economia, Robert Merton, levaram à ruína um fundo de investimento: Long-Term
Capital Management (LTCM). Deram um rombo à LCTM de 4,6 biliões (milhares de milhões) de
dólares jogando com opções e outros derivados. Não lhes serviu de nada a
fórmula para cobrir riscos. O próprio Scholes teve problemas com a justiça dos
EUA por evasão fiscal e outras malandragens ([33]). O neoliberal Alan
Greenspan, que foi presidente do Federal
Reserve Bank, caracterizou-os de «jogadores compulsivos».
Hoje em dia parece que a fórmula passou a ser apenas uma capa pudica para
emprestar respeitabilidade ao capitalismo de casino epitomizado pelos
derivados. Como dizia um artigo do The Guardian ([34]): «A fórmula de
Black-Scholes foi a justificação matemática para as transacções que mergulharam
a banca mundial na catástrofe», e ainda «Apesar da sua suposta sapiência [pelo
uso de fórmulas] o sector financeiro não tem melhor desempenho que a decisão ao
acaso».
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Próximo
artigo:
Swaps
Swaps e o caso da
Procter & Gamble
Os famigerados CDOs e
CDSs
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Notas:
[21] Benjamin
Graham, perito em investimentos e conselheiro do milionário Warren Buffet,
dizia (citado em [9]): «a combinação de fórmulas precisas com assunções
imprecisas pode ser usada para estabelecer, ou melhor para justificar,
praticamente qualquer coisa que se deseje… A matemática empresta à especulação
o aspecto enganador de investimento».
[22] O nome provém do facto de se poder interpretar cada curva como um passeio
constituído por excursões aleatórias, para cima ou para baixo, de um salto de
uma unidade (numa certa escala de medida). Para uma exposição não técnica, ver:
J. Marques de Sá, “O Acaso. A Vida do Jogo e o Jogo da Vida”, Ciência Aberta
n.º 154, Gradiva, 2006.
[23] Trata-se do «passeio aleatório gaussiano», também conhecido por movimento
browniano. A versão contínua deste passeio é o processo estocástico de
Wiener-Levy.
[24] O modelo usado é: lnS(t) = lnS(0) + m.t + s.W,
onde m e s são valores constantes e W
um processo de Wiener-Levy. Subtraindo a lnS(t) a recta lnS(0) + m.t e dividindo
por s, obtém-se o passeio aleatório W. Neste modelo m é a média dos incrementos logarítmicos e s é a volatilidade. Já vimos, em [14], que na prática é indiferente
usar incrementos logarítmicos ou incrementos relativos.
[25] É isto que é dito por exemplo
num curso universitário irlandês sobre activos financeiros http://www.4c.ucc.ie/~aholland/bordgais/BG_Ch6.pdf
): «O passeio aleatório pode-se escrever como "receita" para gerar Si+1 de Si [o próximo valor do activo
a partir do anterior]». Em geral, em muitos documentos de cursos superiores que
lemos na web, os autores alheiam-se
sobre se o modelo é ou não adequado, transmitindo a convicção de que «é assim
porque é assim».
[26] O mesmo acontece no passeio aleatório contínuo usado pelos teóricos
financeiros. As excursões entre valores sucessivos são quase sempre pequenas
dado precisamente as «caudas curtas» que caracterizam a distribuição normal.
[27] Logo, a considerável probabilidade de grandes excursões face à média.
[28] AW Lo, AC MacKinlay, "Stock market prices do not follow
random walks: evidence from a simple specification test", The Review of
Financial Studies (1988) 1 (1): 41-66. http://rfs.oxfordjournals.org/content/1/1/41.abstract
[29] De facto, têm sido propostos outros modelos, de difícil utilização
prática. Nenhum deles pode obviamente garantir contra uma perda arbitrariamente
grande no jogo com derivados, dada a complexa não estacionaridade das séries
económicas. Num dado dia podem sempre entrar novas variáveis no mercado ou as
antigas comportarem-se de forma totalmente diferente. O mercado é um fenómeno
eminentemente caótico. Quando muito dispomos de métodos para caracterizar essa
caoticidade; sem garantias quanto ao risco de predições. O leitor treinado em matemática
poderá achar interessante a leitura de Steve Pincus, Rudolf Kalman
"Irregularity, volatility, risk, and financial market time séries",
PNAS vol. 101, 38:13709-13714, 2004.
[30] Nomeadamente, o integral de Itô, desenvolvido em 1945 pelo matemático japonês
Kiyoshi Itô
[31] Pode-se objectar que a mecânica quântica -- uma das mais bem
validadas teorias da física -- assenta em assunções não realistas. Quando Max
Planck introduziu a assunção de que a energia era radiada em pacotes discretos
-- os quanta -- esta parecia ser algo imposto «em desespero». Só mais tarde a
realidade dos quanta veio a ser compreendida, em particular como consequência
da interacção do observador sobre o observado (e decorrente princípio da
incerteza). Na área macroscópica da economia não temos de nos preocupar com
tais dificuldades. A exigência de assunções realistas, no sentido habitual do
termo, é absoluta.
[32] A
aplicação da fórmula de Black-Scholes ao mercado forex faz-se através da
fórmula de Garman-Kohlhagen (ver, p. ex., http://en.wikipedia.org/wiki/Foreign-exchange_option),
calculando primeiro as seguintes quantidades:
onde S0 é o valor da
cotação no momento do contrato, E o valor contratado, s a
volatilidade e T o período do contrato (para 90 dias o valor normalizado
do tempo é de 90/365=1/4,056); rd e rf são,
respectivamente, as taxas de juro doméstica e estrangeira. Suponhamos que em 1
de Janeiro de 1990 era celebrado o contrato e as taxas de juro eram
respectivamente rd=14,875% e rf =10,5%.
Para s = 0,125, S0 = 1,603 $/£ e E = 1,746 $/£
(a taxa forward no momento do contrato) o leitor pode verificar que d1
= -0.437 e d2 = -0,499.
A fórmula de
Garman-Kohlhagen calcula o preço da opção a partir dos valores de d1
e d2:
onde N é a função de distribuição de probabilidade
normal, de média nula e desvio padrão unitário. Para os valores acima de d1
e d2 obtém-se p = 0,02 $. Noventa dias depois
verifica-se que S = 1,643 $/£. Dado que S > E, o
detentor não exerce o contrato e o subscritor ganha neste caso p(1+rf/4,056)
= 0,021 $ por cada dólar do montante contratado.
[33] Para além
de outros artigos que relatam o caso vale a pena ler também Adolph L. Reed Jr, "The Road to Corporate Perdition" The Progressive (http://progressive.org/node/1474). Adolph L. Reed Jr. é um
Professor de Ciências Políticas na Faculdade de Ciência Social e Política (New
School, Nova Iorque).
[34] "The mathematical equation that caused the banks
to crash",
12/2/2012 http://www.theguardian.com/science/2012/feb/12/black-scholes-equation-credit-crunch
